Справочник › Теория риска › Панджер и аппроксимации › Класс (a, b, 0)

Класс (a, b, 0)

●Три распределения — Пуассон, биномиальное, отрицательное биномиальное — кажутся совершенно разными. Но у них есть общий секрет: соседние вероятности $p_k$ и $p_{k-1}$ связаны одним и тем же простым соотношением. Именно это и называется классом $(a, b, 0)$.

Для $\mathrm{Poisson}(\lambda)$: $p_k = e^{-\lambda} \lambda^k/k!$. Значит $p_k/p_{k-1} = \lambda/k = 0 + \lambda/k$. Это ровно $a + b/k$ с $a=0$ и $b=\lambda$. Формула одна и та же для всех трёх распределений — меняются только константы $a$ и $b$. Рекурсия Пейнджера использует именно эти $a$ и $b$, поэтому она работает ровно для этой тройки и ни для кого другого.

$Таблица из трёх строк (Poisson / Binomial / NegBin) и двух столбцов $(a, b)$: Poisson $\to$ $a=0$, $b=\lambda$; Binomial$

Таблица из трёх строк (Poisson / Binomial / NegBin) и двух столбцов $(a, b)$: Poisson $\to$ $a=0$, $b=\lambda$; Binomial $\to$ $a=-p/(1-p)$; NegBin $\to$ $a=1-p$. Стрелкой показать: $a>0$ — тяжёлый хвост, $a<0$ — ограниченный носитель.

✍️ Разберём на числах

Проверим $\mathrm{NegBin}(r=2, p=0{,}4)$: $a = 1 - p = 0{,}6$; $b = (r-1)(1-p) = 1 \cdot 0{,}6 = 0{,}6$. Тогда $p_k/p_{k-1} = 0{,}6 + 0{,}6/k$ — убывающее отношение. Это и есть характерная черта NegBin: «хвост» тяжелее Poisson ($a > 0$). Для $\mathrm{Binomial}(n=5, p=0{,}3)$: $a = -p/(1-p) \approx -0{,}429 < 0$ — отношение убывает быстро, ограниченный носитель $\{0,\ldots,5\}$.

📐 Формула

Класс $(a, b, 0)$ — условие:

\[p_k/p_{k-1} = a + b/k, \quad k = 1, 2, 3, \ldots\]

«,0» означает, что рекуррентность начинается с $k=0$ (то есть $p_0$ задаётся отдельно). Англ.: (a, b, 0) class / Panjer class / counting distribution family. Параметры: $a$ и $b$ — константы (зависят от распределения и его параметров).

→Зная класс $(a, b, 0)$ и коэффициенты $a$, $b$, вы готовы запустить рекурсию Пейнджера — основной инструмент точного расчёта $P(S=s)$. Это следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →