●Представьте: страховая компания обслуживает тысячи автомобилистов. За год кто-то попадёт в аварию, кто-то нет; у одного ущерб 50 тыс. руб., у другого — 500 тыс. Сколько компания выплатит суммарно? Это и есть суммарный иск \(S\) — главный вопрос теории риска.
У \(S\) два источника неопределённости сразу: · сколько исков поступит (\(N\) — случайная величина), · насколько крупным окажется каждый (\(X_i\) — тоже случайны). Поэтому нельзя просто взять «1000 полисов × средний иск 10 тыс.» — \(N\) сам гуляет вверх-вниз, и это добавляет дополнительную дисперсию сверх разброса размеров. Формулы \(E[S]\) и \(\mathrm{Var}[S]\) аккуратно разделяют оба вклада.
✍️ Разберём на числах
Портфель: ожидаемое число исков \(E[N] = 100\), средний иск \(E[X] = 10\) тыс. руб., \(\mathrm{Var}[X] = 25\ (\text{тыс. руб.})^2\), \(\mathrm{Var}[N] = 100\) (Poisson). \(E[S] = 100 \cdot 10 = 1000\) тыс. руб. \(\mathrm{Var}[S] = 100 \cdot 25 + 100 \cdot 100 = 2500 + 10000 = 12500\ (\text{тыс. руб.})^2\). Второй член (10000) — это «вклад случайности \(N\)»; он часто доминирует.
📐 Формула
\(N\) — число исков (random), \(X_i\) — размер \(i\)-го иска (i.i.d., независимы от \(N\)). Русск.: суммарный иск, число исков, размер иска. Англ.: aggregate claim, claim count, claim severity.