Допущения цепной лестницы
●Актуарий запустил chain ladder, получил резерв — и потом выяснилось, что в середине анализируемого периода суды резко изменили трактовку полисов. Все открытые дела скакнули вверх по одной диагонали. Метод этого «не видел» — и резерв оказался занижен. Почему? Потому что было нарушено ключевое допущение.
Chain ladder работает так: он берёт исторические факторы развития между интервалами и предполагает, что в будущем всё будет так же. Для этого нужно три вещи: (1) развитие одинаково устроено для всех исходных лет — то есть factor \(f_j\) общий для строк; (2) нет событий, бьющих разом по всей диагонали; (3) портфель однороден. Нарушите любое — и факторы прошлого перестанут предсказывать будущее.
Треугольник 4×4: строки — исходные годы, столбцы — интервалы развития. Диагональ 2024 года выделена красным — «шок закона». По остальным диагоналям цвет стабильный. Надпись: «Базовый CL усредняет красное с нормальным — оценка смещается».
✍️ Разберём на числах
Три исходных года, фактор f(1) = C(i,2)/C(i,1): — год 2022: 500/400 = 1,25 — год 2023: 520/400 = 1,30 — год 2024: 480/400 = 1,20 Среднее ≈ 1,25 — используем как оценку. Если в 2024 году закон изменился и все дела дооценили на 20%, факторы 2024 года искажены. Использовать их для прогноза 2025 — значит получить смещённый резерв.
📐 Формула
Модель цепной лестницы: \(E[C_{i,j+1} \mid C_{i,j}] = f_j \cdot C_{i,j}\) Здесь \(f_j\) — age-to-age factor (фактор развития, англ. link ratio или development factor) — общий для всех строк \(i\). Оценка: \(\hat{f}_j = \dfrac{\sum_i C_{i,j+1}}{\sum_i C_{i,j}}\) (взвешенное среднее). Нарушение однородности → \(f_j\) нестабильны → резерв смещён.