Справочник › Финансовая математика › Произвольные множители накопления и дисконтирования › Непрерывное накопление при постоянной $\delta$

Непрерывное накопление при постоянной $\delta$

●Что будет с 1 ₽, если начислять проценты не раз в год, не раз в месяц, а непрерывно — каждую секунду? Ответ — экспоненциальный рост.

Сила процента $\delta$ — это мгновенная скорость роста: в каждый момент времени $t$ счёт растёт на $\delta$ в долях от текущей суммы. Накопленная стоимость описывается дифференциальным уравнением $A'(t) = \delta \cdot A(t)$, решение которого — экспонента $A(t) = e^{\delta t}$. Связь с дискретным: $\delta = \ln(1+i)$, то есть $e^\delta = 1+i$.

$Три кривые накопления 1 ₽ за 0–10 лет: простой процент (прямая), дискретный сложный при $i = 5\%$ (чуть выгнута) и непре$

Три кривые накопления 1 ₽ за 0–10 лет: простой процент (прямая), дискретный сложный при $i = 5\%$ (чуть выгнута) и непрерывный при $\delta = 5\%$ (выше всех). Разрыв нарастает медленно, но виден.

✍️ Разберём на числах

$\delta = 5\%$ (= $0{,}05$), $t = 10$ лет. $A(10) = e^{0{,}05 \cdot 10} = e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$. Для сравнения: при дискретной ставке $i = 5\%$ получаем $A(10) = 1{,}05^{10} \approx 1{,}628895$. Непрерывное начисление выгоднее: разница $1{,}648721 - 1{,}628895 = 0{,}019826$ ₽ с 1 ₽.

📐 Формула

\[A(t) = e^{\delta \, t}\]

$\delta$ — постоянная сила процента ($\text{год}^{-1}$, безразмерна), $t$ — срок в годах, $A(t)$ — накопленная стоимость 1 ₽.

→Постоянная $\delta$ — частный случай переменной силы роста $\delta(t)$. Следующий шаг: что если $\delta$ меняется со временем? Тогда

\[A(T) = \exp\!\left(\int_0^T \delta(t)\,dt\right).\]

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Непрерывное накопление при постоянной \(\delta\)