Справочник › Финансовая математика › Непрерывные и бесконечные потоки платежей › PV непрерывной ренты

PV непрерывной ренты

●Аренда приносит 6 000 ₽/год непрерывным потоком 15 лет. Ставка 5%. В отличие от дискретной ренты, деньги капают каждую секунду. Как найти PV такого потока?

Непрерывная рента $\bar{a}_{\overline{n}|i}$ — предел дискретной при числе платежей $p \to \infty$. Интеграл $\int_0^n e^{-\delta t}\,dt$ заменяет сумму. Результат: та же структура $(1 - v^n)$, но делится на $\delta = \ln(1+i)$ вместо $i$. Так как $\delta < i$, непрерывная рента больше дискретной.

$Дисконтированный поток $e^{-\delta t}$ на интервале $[0, 15]$: площадь под кривой равна $$\bar{a}_{\overline{15}|}$$. Дл$

Дисконтированный поток $e^{-\delta t}$ на интервале $[0, 15]$: площадь под кривой равна $\bar{a}_{\overline{15}|}$. Для сравнения — дискретные столбики $v^k$.

✍️ Разберём на числах

$X = 6\,000$ ₽/год, $n = 15$, $i = 5\%$. $\delta = \ln(1{,}05) \approx 0{,}04879$. $v^{15} = (1{,}05)^{-15} \approx 0{,}4810$. $\bar{a}_{\overline{15}|} = (1 - 0{,}4810) / 0{,}04879 \approx 10{,}637$. $PV = 6\,000 \cdot 10{,}637 \approx 63\,822$ ₽.

📐 Формула

\[\bar{a}_{\overline{n}|i} = \int_0^n e^{-\delta t}\,dt = \frac{1 - v^n}{\delta}\]

$\delta = \ln(1+i)$ — сила процента, $v = 1/(1+i)$, $n$ — срок (лет), $\bar{a}_{\overline{n}|i}$ — PV непрерывного аннуитета при единичной интенсивности.

→Порядок величин: $\bar{a}_{\overline{n}|} > \ddot{a}_{\overline{n}|} > a_{\overline{n}|}$. Следующий шаг — непрерывная возрастающая рента $(I\bar{a})_{\overline{n}|}$, где интенсивность не постоянна, а растёт линейно со временем.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →