Справочник › Финансовая математика › Непрерывные и бесконечные потоки платежей › Непрерывный денежный поток

Непрерывный денежный поток

●Нефтепровод качает нефть непрерывно: 5 000 ₽/год выручки. При силе роста $\delta = 6\%$ за 10 лет — какова PV этого непрерывного потока? Не сумма дискретных платежей — непрерывный интеграл.

Непрерывный денежный поток — это поступления в каждый момент времени, а не раз в год. Приведённая стоимость — это интеграл: каждый бесконечно малый платёж $\rho \cdot dt$ дисконтируется на $e^{-\delta t}$. Итог: $PV = \rho \cdot (1 - e^{-\delta T})/\delta$.

$Непрерывный поток как площадь под кривой $\rho \cdot e^{-\delta t}$ на интервале $[0, T]$: затенённая область наглядно п$

Непрерывный поток как площадь под кривой $\rho \cdot e^{-\delta t}$ на интервале $[0, T]$: затенённая область наглядно показывает, что PV — это интеграл дисконтированных поступлений.

✍️ Разберём на числах

$\rho = 5\,000$ ₽/год, $\delta = 6\% = 0{,}06$, $T = 10$ лет. $e^{-0{,}06 \cdot 10} = e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$. $PV = 5\,000 \cdot (1 - 0{,}5488) / 0{,}06 = 5\,000 \cdot 7{,}5198 \approx 37\,599$ ₽.

📐 Формула

\[PV = \int_0^T \rho(t) \cdot e^{-\delta t}\,dt = \rho \cdot \frac{1 - e^{-\delta T}}{\delta}\]

$\rho$ — интенсивность потока (₽/год), $\delta$ — сила процента, $T$ — горизонт (лет), $v^t = e^{-\delta t}$ — дисконтный множитель.

→Формула $\rho(1-e^{-\delta T})/\delta$ — это $\rho \cdot \bar{a}_{\overline{T}|\delta}$, непрерывный аналог дискретной ренты. Когда $\rho = 1$ и $T \to \infty$, получаем непрерывную вечную ренту $1/\delta$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →