●А если пенсию платят не раз в год, а буквально каждый день — непрерывным ручейком по 1 ₽ в год? Так считают, например, стоимость постоянного потока дохода. Цена такого потока — непрерывная рента \(\bar{a}_x\), и она чуть меньше пренумерандо.
Годовая пренумерандо платит всё «авансом» — в начале года. Непрерывный поток растягивает ту же сумму равномерно по году, то есть в среднем платит на полгода позже. Полгода лишнего дисконта — и получается простая поправка: \(\bar{a}_x \approx \ddot{a}_x - 1/2\) (при допущении UDD — равномерных смертей внутри года).
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 50\), \(i = 4\%\) (\(\delta = \ln 1{,}04 \approx 0{,}0392\)). Точная формула — интеграл \(\int_0^\infty v^t\,{}_tp_{50}\,dt\), но на практике берём аппроксимацию: \(\bar{a}_{50} \approx \ddot{a}_{50} - 0{,}5 = 17{,}11 - 0{,}5 = 16{,}61\). (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(\bar{a}_x = \int_0^{\infty} v^t\,{}_t p_x\,dt\), где \(v = e^{-\delta}\), \(\delta = \ln(1+i)\) — сила процента, \({}_t p_x\) — вероятность дожить \(t\) лет. Практическая аппроксимация при UDD: \(\bar{a}_x \approx \ddot{a}_x - 1/2\).