●Клиент с полисом на \(100\,000\) ₽ умирает в этом году. Сколько на самом деле теряет страховщик? Не все \(100\,000\): к этому моменту по полису уже накоплен резерв, скажем \(20\,000\) ₽. Эти деньги уже отложены — при смерти они «высвобождаются». Реальная дыра в бюджете — лишь разница. Эту разницу и называют суммой под риском.
Когда страхователь умирает, происходят сразу две вещи: компания платит страховую сумму \(S\), но одновременно «снимает с баланса» резерв \({}_{t+1}V\), который копила именно под этот полис — умершему он больше не нужен. Чистая нагрузка — то, что пришлось добрать сверх уже накопленного: \(DSAR_t = S - {}_{t+1}V\). Резерв уже частично «оплатил» будущую выплату, под риском остаётся только непокрытый остаток.
✍️ Разберём на числах
\(DSAR_t = S - {}_{t+1}V\). Возьмём \(S = 100\,000\) ₽ и резерв на конец года \({}_{t+1}V = 20\,000\) ₽. Тогда \(DSAR = 100\,000 - 20\,000 = 80\,000\) ₽ — именно столько компания теряет «сверх копилки» на каждой смерти. В начале полиса резерв мал, и \(DSAR\) почти равен \(S\); ближе к старости резерв подрастает к \(S\), и сумма под риском тает. Для чистого дожития (pure endowment) бывает \(S < {}_{t+1}V\) — тогда \(DSAR\) отрицателен. (Число проверено python.)
📐 Формула
\(DSAR_t = S_t - {}_{t+1}V\), где \(S_t\) — выплата по смерти в году \(t\) (для пожизненной — страховая сумма), \({}_{t+1}V\) — резерв на конец года (резерв доживших). Смысл: при смерти платим \(S_t\), но освобождаемся от резерва \({}_{t+1}V\), поэтому чистая нагрузка именно \(S_t - {}_{t+1}V\). Для pure endowment знак может быть отрицательным.