Справочник › Теория риска › EBCT (эмпирический Байес) › Оценки структурных параметров EBCT-1

Оценки структурных параметров EBCT-1

●У нас есть таблица убытков. Как из «сырых» чисел извлечь $E[s^2(\theta)]$ и $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ — структурные параметры, от которых зависит весь расчёт премии доверия?

Общий разброс данных складывается из двух частей: — шум ВНУТРИ рисков: в каждый год убыток «прыгает» вокруг своего среднего; — различия МЕЖДУ рисками: разные клиенты имеют разные средние. $E[s^2(\theta)]$ оценивается как среднее внутригрупповых дисперсий. $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ — межгрупповая дисперсия за вычетом поправки на шум.

$Два столбца: $E[s^2(\theta)]$ (шум внутри) и $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ (различия между рисками). Видно, что $\mathrm{Var$

Два столбца: $E[s^2(\theta)]$ (шум внутри) и $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ (различия между рисками). Видно, что $\mathrm{Var}[m(\theta)] \gg E[s^2(\theta)] \to$ высокий $Z$.

✍️ Разберём на числах

Данные: $\bar X_1=50$, $\bar X_2=61$, $\bar X_3=41$, $\bar{\bar X}=50{,}667$; $n=3$. Внутри риска 1: дисп. $= ((48-50)^2+(52-50)^2+(50-50)^2)/2 = (4+4+0)/2 = 4$. Внутри риска 2: $((60-61)^2+(65-61)^2+(58-61)^2)/2 = (1+16+9)/2 = 13$. Внутри риска 3: $((40-41)^2+(38-41)^2+(45-41)^2)/2 = (1+9+16)/2 = 13$. $E[s^2(\theta)] = (4 + 13 + 13) / 3 = 10$. Межгрупповая дисп. $= ((50-50{,}667)^2+(61-50{,}667)^2+(41-50{,}667)^2)/2 = 100{,}333$. $\mathrm{Var}[m(\theta)] = 100{,}333 - 10/3 \approx 97$.

📐 Формула

\[E[s^2(\theta)] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(X_{ij}-\bar X_i)^2\]

(expected process variance — средняя внутригрупповая дисперсия).

\[\mathrm{Var}[m(\theta)] = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\bar X_i - \bar{\bar X})^2 - \frac{E[s^2(\theta)]}{n}\]

(variance of hypothetical means — дисперсия средних за вычетом поправки).

→Оценки $E[s^2(\theta)]$ и $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ готовы. Следующий шаг — подставить их в формулу $Z$ и вычислить итоговую премию доверия для каждого риска.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →