Математическое ожидание \(E[X]\)
●Вы покупаете лотерейный билет: с вероятностью 0,7 выигрыш 0 руб., с вероятностью 0,25 — 500 руб., с вероятностью 0,05 — 5000 руб. Сколько «стоит» этот билет в среднем? Вот именно это и считает математическое ожидание.
Представьте, что вы играете 1000 раз. Из них примерно 700 раз вы получаете 0, 250 раз — 500 руб., 50 раз — 5000 руб. Суммарный выигрыш ≈ 0·700 + 500·250 + 5000·50 = 375 000 руб. На одну игру: 375 000 / 1000 = 375 руб. Это ровно \(E[X] = 0·0{,}7 + 500·0{,}25 + 5000·0{,}05 = 375\) руб. Формула — это просто «среднее арифметическое с весами-вероятностями».
![Стрелка на оси x показывает $E[X]$ — точку «равновесия» гистограммы.](/img/expectation.png)
Стрелка на оси x показывает \(E[X]\) — точку «равновесия» гистограммы.
✍️ Разберём на числах
\(E[X] = 0 \cdot 0{,}5 + a \cdot 0{,}3 + b \cdot 0{,}2\).
📐 Формула
\(E[X] = \sum_x x \cdot P(X=x)\) — дискретный случай. Здесь \(x\) — возможные значения СВ, \(P(X=x)\) — их вероятности. Обозначение: \(E[X]\) (в русских источниках — \(M[X]\)); параметр: \(\mu\).