Справочник › Финансовая математика › Начисление процентов p раз в год › Сила процента — формула $\delta = \ln(1+i)$

Сила процента — формула $\delta = \ln(1+i)$

●Что будет, если начислять проценты не раз в год, не ежемесячно, а каждую секунду? Ставка стремится к пределу — силе процента $\delta$.

Сила процента — мгновенная интенсивность роста: за бесконечно малый промежуток $dt$ капитал прирастает на $\delta \cdot dt$. Формально $\delta = \lim_{p\to\infty} i^{(p)} = \ln(1+i)$. Обратно: зная $\delta$, получаем $i = e^{\delta} - 1$.

$График $\delta(i) = \ln(1+i)$ при $i$ от 0 до 20%: кривая идёт чуть ниже прямой $\delta = i$; отмечена точка $i=10\%$, $$

График $\delta(i) = \ln(1+i)$ при $i$ от 0 до 20%: кривая идёт чуть ниже прямой $\delta = i$; отмечена точка $i=10\%$, $\delta \approx 9{,}53\%$ и зона, показывающая разрыв между ними.

✍️ Разберём на числах

Эффективная ставка $i = 10\% = 0{,}10$. $\delta = \ln(1{,}10) \approx 0{,}09531$. Проверка: $e^{0{,}09531} = 1{,}10$ — верно. Это меньше 10%, но при непрерывном начислении даёт тот же итог за год.

📐 Формула

\[\delta = \ln(1+i), \qquad 1 + i = e^{\delta}\]

$i$ — годовая эффективная ставка (доля), $\delta$ — годовая сила процента (безразмерная).

→Сила процента замыкает семейство ставок: $d < i^{(p)}$ при $p \to \infty$ сходится к $\delta$, как и $d^{(p)}$ снизу. При переменной ставке $\delta(t)$ накопление равно $e^{\int_0^n \delta(t)\,dt}$ — это уже тема непрерывного начисления.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Сила процента — формула \(\delta = \ln(1+i)\)