Справочник › Теория риска › Credibility и Бюльман › Полная и частичная достоверность

Полная и частичная достоверность

●У актуария есть портфель страхователей с разным числом наблюдений: у одного — 50 исков, у другого — 1500. Можно ли назначить обоим $Z = 1$? Или нужна осторожность? В подходе limited fluctuation есть чёткий порог, делящий два режима: полная и частичная достоверность.

Полная достоверность — это когда данных настолько много ($N \geq N_{\text{full}}$), что личной статистике можно верить без поправки: $Z = 1$, $P = \bar{X}$. Частичная достоверность — данных меньше порога. Тогда не ставим $Z = 0$ или $Z = 1$ произвольно, а вычисляем взвешенный компромисс: $Z = \sqrt{N/N_{\text{full}}}$. Квадратный корень — не случайный выбор: он получается из требования к точности при нормальном приближении.

$Горизонтальная ось $N$. Слева от вертикальной границы $N_{\text{full}}$ — кривая $Z = \sqrt{N/N_{\text{full}}}$, выпукла$

Горизонтальная ось $N$. Слева от вертикальной границы $N_{\text{full}}$ — кривая $Z = \sqrt{N/N_{\text{full}}}$, выпуклая вниз (частичная достоверность). Справа — горизонтальная прямая $Z = 1$ (полная). Подписи двух зон. Отмечены конкретные точки $N = 384$ ($Z = 0{,}5$) и $N = 1537$ ($Z = 1$).

✍️ Разберём на числах

$y = 1{,}96$, $p = 0{,}05 \to N_{\text{full}} = (1{,}96/0{,}05)^2 = 1536{,}64$. Если $N = 384$: $Z = \sqrt{384/1536{,}64} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}50$ — частичная. Если $N = 1800 > N_{\text{full}}$: $Z = 1$ — полная. Типичная ошибка: написать $Z = N/N_{\text{full}} = 0{,}25$ вместо $\sqrt{0{,}25} = 0{,}50$.

📐 Формула

Полная достоверность (full credibility): $N \geq N_{\text{full}} = (y/p)^2$, тогда $Z = 1$. Частичная достоверность (partial / limited fluctuation credibility):

\[Z = \sqrt{\frac{N}{N_{full}}} \leq 1.\]

$N$ — фактическое число исков; $N_{\text{full}}$ — порог полной достоверности; $y$ — квантиль нормали; $p$ — допустимая относительная ошибка.

→Подход limited fluctuation удобен, но требует нормального приближения и явного критерия точности. Байесовский подход (Пуассон/Гамма, Нормаль/Нормаль) выводит $Z$ аналитически из модели. Сравнение обоих подходов — в следующих атомах.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →