Справочник › Теория риска › Байесовский подход › Несобственное априорное распределение

Несобственное априорное распределение

●Что если мы вообще ничего не знаем о параметре $\lambda$ — откуда взять prior? Можно взять «плоский» prior: $p(\lambda) = 1$ на всей положительной оси. Но он не интегрируется! Это и есть несобственный prior.

Плоский prior $p(\lambda) \propto 1$ на $(0,\infty)$ говорит: «все значения $\lambda$ равновероятны». Но $\int_0^\infty 1\, d\lambda = \infty$ — это не распределение вероятностей. Однако, перемножив на правдоподобие (например, Poisson), получаем posterior, который уже интегрируется. Данные «спасают» анализ.

$Схема: на оси $x$ — значения $\lambda$. Плоская горизонтальная «линия» с подписью «improper prior $p(\lambda) \propto 1$$

Схема: на оси $x$ — значения $\lambda$. Плоская горизонтальная «линия» с подписью «improper prior $p(\lambda) \propto 1$» (тянется вправо до бесконечности). Под ней — posterior после данных: нормальный вид, концентрированная кривая. Надпись: «posterior собственный — использование prior допустимо».

✍️ Разберём на числах

Prior: $p(\lambda) \propto 1$ (несобственный). Данные: $n=4$ лет, $\Sigma x=3$. Posterior $\propto \lambda^3 e^{-4\lambda}$ — это $\mathrm{Gamma}(4, 4)$, собственное! Оценка: $E[\lambda \mid x] = 4/4 = 1{,}0 = \Sigma x/n = \text{MLE}$. Improper prior $\to$ MLE.

📐 Формула

Несобственный prior: $p(\theta) \geq 0$, но $\int p(\theta)\, d\theta = \infty$. Условие допустимости: $\int p(\theta \mid x)\, d\theta = 1$ (posterior собственный). Uninformative prior (Джеффрис): $p(\lambda) \propto 1$ или $p(\lambda) \propto 1/\lambda$.

→Несобственный prior — крайний случай «незнания». В страховании чаще используют слабо-информативный $\mathrm{Gamma}(1, \varepsilon)$. Следующий атом сравнивает классический и байесовский подходы, где improper prior ведёт к MLE.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →