Справочник › Финансовая математика › Частные виды рент 2 › Возрастающая рента

Возрастающая рента

●Рента, где каждый год платёж на единицу больше предыдущего: 1, 2, 3, ..., n. Как оценить такой поток сегодня, не дисконтируя каждый платёж вручную?

Возрастающая рента $(Ia)_{\overline{n}|}$ — это пачка обычных рент. Первый платёж 1 идёт все $n$ лет, второй добавляется со второго года на $n-1$ лет, и так далее. Суммируя эту пирамиду рент, получаем формулу через ренту пренумерандо $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ и дисконтированный последний платёж $n \cdot v^n$.

$Столбики на временной оси: высота столбика в год $t$ равна $t \cdot X$. Видно арифметический рост — каждый год на $X$ вы$

Столбики на временной оси: высота столбика в год $t$ равна $t \cdot X$. Видно арифметический рост — каждый год на $X$ выше предыдущего.

✍️ Разберём на числах

$X = 2$ ₽ (множитель), $n = 5$ лет, $i = 7\%$, $v = 1/1{,}07$. Сначала ищем $\ddot{a}_{\overline{5}|7\%}$: $\ddot{a}_{\overline{5}|} = \frac{1 - v^5}{d} = \frac{1 - 1{,}07^{-5}}{0{,}07/1{,}07} \approx 4{,}387$. Затем $(Ia)_{\overline{5}|} = \frac{4{,}387 - 5 \cdot 1{,}07^{-5}}{0{,}07} \approx 10{,}654$. $PV = 2 \cdot 10{,}654 \approx 21{,}31$ ₽.

📐 Формула

\[(Ia)_{\overline{n}|i} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|i} - n \cdot v^n}{i}\]

$\ddot{a}_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{d}$ — рента пренумерандо, $d = i/(1+i)$, $v = 1/(1+i)$ — дисконт-фактор, $n$ — число платежей. С множителем $X$: $PV = X \cdot (Ia)_{\overline{n}|i}$.

→Отсроченная версия — ${}_{m|}(Ia)_{\overline{n}|}$ — дополнительно умножает весь результат на $v^m$. Это следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →