Дюрация Маколея — средневзвешенный срок поступления денег
●Облигация платит купоны каждый год и номинал в конце. Вопрос: насколько «долго» деньги работают в этой облигации? Не просто срок до погашения, а средний момент получения денег с учётом их размера и временной стоимости — это и есть дюрация Маколея.
Представьте рычаг: на нём висят грузики в моментах \(1, 2, \ldots, n\). Масса каждого грузика — приведённая стоимость потока (\(CF_t \cdot v^t\)). Дюрация Маколея — точка равновесия этого рычага. Более высокая купонная ставка смещает тяжёлые грузики к началу (меньше дюрация); более высокая доходность уменьшает вес дальних грузиков (тоже уменьшает дюрацию).
Столбики PV каждого потока по оси времени: пять небольших купонных столбиков и один высокий номинальный в год \(5\). Красная вертикаль — точка равновесия (дюрация). Если бы купона не было — рычаг упирался бы в самый конец (\(D = n = 5\)).
✍️ Разберём на числах
\(C = 5\), \(n = 5\), \(i = 0{,}07\): \(v = 1/1{,}07 \approx 0{,}9346\). Числитель: \(1 \cdot 5 \cdot v + 2 \cdot 5 \cdot v^2 + \ldots + 5 \cdot 5 \cdot v^5 + 5 \cdot 100 \cdot v^5\). Знаменатель: \(5 \cdot v + 5 \cdot v^2 + \ldots + 5 \cdot v^5 + 100 \cdot v^5 \approx 91{,}80\) (цена). \(D_{\text{Mac}} \approx 4{,}5232\) лет — меньше срока \(5\) лет, так как купоны поступают раньше.
📐 Формула
\(D_{\text{Mac}} = \dfrac{\sum t \cdot CF_t \cdot v^t}{P}\), где \(CF_t\) — поток в момент \(t\), \(v = 1/(1+i)\), \(P\) — цена облигации (знаменатель). Веса — ДИСКОНТИРОВАННЫЕ потоки, не номинальные.