Производящая функция моментов (ПФМ / MGF)
●Вам дана «загадочная» функция \(M(t)=(1-t/\lambda)^{-1}\). Нужно найти \(E[X]\) и \(Var[X]\). Можно восстановить распределение и интегрировать — но есть способ короче.
ПФМ кодирует все моменты. Первая производная в нуле = \(E[X]\). Вторая производная в нуле = \(E[X^2]\). Дисперсия = \(E[X^2] - (E[X])^2\). Больше интегрировать не нужно.
График \(M_X(t) = (1-t/\lambda)^{-1}\) при \(\lambda=3\): монотонно растущая кривая. В точке \(t=0\): касательная с наклоном \(1/\lambda = E[X]\).
✍️ Разберём на числах
\(M(t) = (1-t/\lambda)^{-1}\). Шаг 1: \(M'(t) = (1/\lambda)(1-t/\lambda)^{-2}\). Шаг 2: \(M'(0) = 1/\lambda\) → \(E[X] = 1/\lambda\). Шаг 3: \(M''(t) = (2/\lambda^2)(1-t/\lambda)^{-3}\). Шаг 4: \(M''(0) = 2/\lambda^2\) → \(E[X^2] = 2/\lambda^2\). Шаг 5: \(Var[X] = 2/\lambda^2 - 1/\lambda^2 = 1/\lambda^2\).
Проверка нормировки: \(M(0) = (1-0)^{-1} = 1\) ✓
📐 Формула
\(M_X(t) = (1-t/\lambda)^{-1}\) → \(E[X]=1/\lambda\), \(Var[X]=1/\lambda^2\).
convolution-sum-rv.
Логарифм MGF — производящая функция кумулянтов: атом cumulants.