Таблица множественного выбытия (multiple decrement table)
●Из обычной таблицы смертности человек уходит только одним способом — умирает. Но из портфеля страховок полис может «уйти» и по-другому: страхователь расторгает договор (surrender). Как вести учёт, когда из группы вычитают сразу по двум причинам? Возьмём \(10\,000\) человек: сколько останется через год, если за год \(80\) умрут и \(600\) расторгнут?
Заводим одну таблицу, но колонок выбытия теперь несколько. \((al)_x\) — сколько людей «в строю» в возрасте \(x\). \((ad)_x^{(j)}\) — сколько из них выбыло за год по причине \(j\) (смерть, surrender). Чтобы получить вероятность выбытия по причине \(j\), делим выбывших на исходную численность: \((aq)_x^{(j)} = (ad)_x^{(j)}/(al)_x\). А чтобы остаться — нужно не выбыть НИ по одной причине, поэтому из единицы вычитаем сумму всех ставок выбытия.
Рисуем: для каждого года — один столбик высотой \((al)\), разбитый на три части. Зелёная (низ) — оставшиеся, красная — выбывшие по смерти, синяя — выбывшие по surrender. Год за годом столбик становится ниже: группа тает сразу по двум каналам. Слайдер — ставка surrender \((aq)^w\): поднимаем её, и синие куски растут, а вся группа исчезает заметно быстрее, чем от одной смертности.
✍️ Разберём на числах
Пусть \((al)_x = 10\,000\), за год по смерти \((ad)^d_x = 80\), по surrender \((ad)^w_x = 600\). Ставки выбытия: \((aq)^d_x = 80/10\,000 = 0{,}008\) и \((aq)^w_x = 600/10\,000 = 0{,}06\). Вероятность остаться: \((ap)_x = 1 - 0{,}008 - 0{,}06 = 0{,}932\). На начало следующего года в строю \((al)_{x+1} = 10\,000 - 80 - 600 = 9\,320\) человек — ровно \(93{,}2\%\) группы. (Все числа проверены python.)
📐 Формула
\((aq)_x^{(j)} = \dfrac{(ad)_x^{(j)}}{(al)_x}\), \(\quad (ap)_x = 1 - \sum_j (aq)_x^{(j)}\), \(\quad {}_t(ap)_x = \dfrac{(al)_{x+t}}{(al)_x}\). Здесь \((al)_x\) — оставшиеся в возрасте \(x\), \((ad)_x^{(j)}\) — выбывшие за год по причине \(j\), \((aq)_x^{(j)}\) — зависимая ставка выбытия по причине \(j\).