Справочник › Теория риска › Бонус-малус / NCD › Распределение бонус-малус через n лет

Распределение бонус-малус через n лет

●Все новые клиенты стартуют с нулевой скидки. Через сколько лет портфель дойдёт до стационара? И что происходит в промежутке — через 2, 3, 5 лет? Именно это считает проекция на конечном горизонте: $\pi_n = \pi_0 P^n$.

Начальное распределение $\pi_0 = [1, 0, 0]$: все 100% на уровне 0. После 1 года: $\pi_1 = \pi_0 P$ — часть поднялась на уровень 1, часть осталась. После 2 лет: $\pi_2 = \pi_1 P = \pi_0 P^2$ — ещё часть добралась до уровня 2. С каждым годом распределение «ползёт» к стационарному $\pi_\infty$. Конечный горизонт помнит старт; стационар — нет.

$График: эволюция долей $\pi_n[0], \pi_n[1], \pi_n[2]$ по годам $n = 0, 1, 2, \ldots, 10$. Три линии сходятся к горизонта$

График: эволюция долей $\pi_n[0], \pi_n[1], \pi_n[2]$ по годам $n = 0, 1, 2, \ldots, 10$. Три линии сходятся к горизонтальным пунктирным линиям стационарного $\pi$.

✍️ Разберём на числах

$\pi_0 = [1, 0, 0]$, $P$: $p_0=0{,}8607$, $p_1=0{,}1393$, $n=3$ шага. После 1 шага: $\pi_1 = [0{,}1393, 0{,}8607, 0]$. После 2 шагов: $\pi_2 \approx [0{,}0388, 0{,}1392, 0{,}8220]$ (приближённо). После 3 шагов: $\pi_3 \approx [0{,}0361, 0{,}2231, 0{,}7408]$. Доля на уровне 2 через 3 года $\approx 74{,}1\%$ (против 84,2% в стационаре).

📐 Формула

$\pi_n = \pi_0 \cdot P^n$. Пошагово: $\pi_{t+1} = \pi_t \cdot P$ (умножение вектора-строки на матрицу). $\pi_0$ — начальное распределение (начальные условия). $n$ — число лет проекции (горизонт). При $n \to \infty$: $\pi_n \to \pi$ (стационарное распределение).

→Мы умеем считать как долгосрочный стационар $\pi$, так и распределение через конкретные $n$ лет. Вместе эти инструменты дают полную картину динамики портфеля NCD — от первого дня до равновесия.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →