Справочник › Финансовая математика › Начисление процентов p раз в год › Номинальная учётная ставка $d^{(p)}$

Номинальная учётная ставка $d^{(p)}$

●Если процентные ставки начисляются в конце периода, то учётные — в начале: банк сразу удерживает дисконт. Как пересчитать годовую учётную ставку на «ежеквартальную» — объяснит этот атом.

Номинальная учётная ставка $d^{(p)}$ — ставка дисконта, делённая на $p$ равных частей. За каждый подпериод стоимость умножается на $(1 - d^{(p)}/p)$. Чтобы годовой дисконт-множитель совпал с $(1-d)$, нужно $d^{(p)} > d$: начисляя чаще, банк берёт чуть больше суммарно в начале каждого подпериода.

$График $d^{(p)}$ как функция $p$ при фиксированном $d = 10\%$: кривая возрастает от $d^{(1)} = 10\%$ и стремится к $\del$

График $d^{(p)}$ как функция $p$ при фиксированном $d = 10\%$: кривая возрастает от $d^{(1)} = 10\%$ и стремится к $\delta \approx 10{,}54\%$ сверху; отмечены точки $p=2$, $p=4$, $p=12$ и предел $\delta$.

✍️ Разберём на числах

Эффективная учётная ставка $d = 10\% = 0{,}10$, $p = 12$. $d^{(12)} = 12 \cdot \left(1 - (1 - 0{,}10)^{1/12}\right) = 12 \cdot (1 - 0{,}912597) \approx 0{,}104899 = 10{,}490\%$. Проверка: $(1 - 0{,}104899/12)^{12} = (0{,}912597)^{12} \approx 0{,}90 = 1 - d$ — верно.

📐 Формула

\[d^{(p)} = p \cdot \left(1 - (1-d)^{1/p}\right)\]

$d$ — эффективная годовая учётная ставка (доля), $p$ — число начислений в году, $d^{(p)}$ — номинальная годовая учётная ставка (доля).

→Полный порядок: $d < d^{(p)} < \delta < i^{(p)} < i$. При $p \to \infty$ обе номинальные ставки сходятся к одной точке — силе процента $\delta$: $d^{(p)} \nearrow \delta$ и $i^{(p)} \searrow \delta$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Номинальная учётная ставка \(d^{(p)}\)