●У компании тысячи полисов. Точное распределение \(S\) считать рекурсией Пейнджера слишком долго. Но по центральной предельной теореме сумма многих независимых слагаемых ведёт себя как нормальное распределение. Нужны лишь два числа: \(E[S]\) и \(\mathrm{Var}[S]\) — и мы получаем быструю оценку любой вероятности.
Представьте тысячу исков по 100 руб. каждый в среднем. Суммарный иск вертится около 100 000 руб. Насколько далеко может отклониться \(S\)? Стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{Var}[S]}\) показывает «типичный разброс». После стандартизации \(z = (x - E[S]) / \sqrt{\mathrm{Var}[S]}\) мы попадаем в стандартную нормальную таблицу \(\Phi(z)\) — значение которой выучено назубок.
✍️ Разберём на числах
Дано: \(E[S] = 100\) тыс. руб., \(\mathrm{Var}[S] = 400\ (\text{тыс. руб.})^2\), найти \(P(S > 130)\).
Шаг 1. Стандартизация: \(z = (130 - 100) / \sqrt{400} = 30/20 = 1{,}50\).
Шаг 2. \(P(S > 130) \approx 1 - \Phi(1{,}50) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\).
То есть примерно 6,7% — шанс, что суммарный иск превысит 130 тыс. руб.
📐 Формула
\(S \approx N(E[S], \mathrm{Var}[S])\). \(P(S > x) \approx 1 - \Phi(z)\), где \(z = (x - E[S]) / \sqrt{\mathrm{Var}[S]}\). \(\Phi\) — функция распределения стандартного нормального \(N(0,1)\). Англ.: normal approximation for aggregate claims / CLT approximation. \(E[S] = E[N] \cdot E[X]\); \(\mathrm{Var}[S] = E[N] \cdot E[X^2]\) (для Compound Poisson).