Справочник › Теория риска › Байесовский подход › Вывод апостериорного распределения

Вывод апостериорного распределения

●Как формально переходить от prior к posterior? Если знать правило «перемножь и собери степени», вывод для сопряжённых пар занимает одну строчку.

Prior Gamma: ядро пропорционально $\lambda^{\alpha-1} e^{-\beta\lambda}$. Правдоподобие Poisson $n$ наблюдений: $\propto \lambda^{\Sigma x} e^{-n\lambda}$. Перемножаем: $\lambda^{\alpha+\Sigma x-1} e^{-(\beta+n)\lambda}$. Это снова Gamma — только с обновлёнными параметрами. Вот и всё!

$Prior $\mathrm{Gamma}(2,5)$ — широкая кривая; posterior $\mathrm{Gamma}(5,9)$ — узкая, пик сдвинут к $5/9\approx0{,}556$$

Prior $\mathrm{Gamma}(2,5)$ — широкая кривая; posterior $\mathrm{Gamma}(5,9)$ — узкая, пик сдвинут к $5/9\approx0{,}556$. Данные «подтянули» распределение к личной частоте $3/4=0{,}75$.

✍️ Разберём на числах

$\alpha=2$, $\beta=5$, $n=4$, $\Sigma x=3$. Prior × likelihood: $\lambda^{2+3-1} e^{-(5+4)\lambda} = \lambda^4 e^{-9\lambda}$. Posterior: $\mathrm{Gamma}(\alpha'=5, \beta'=9)$. $\alpha'=2+3=5$; $\beta'=5+4=9$.

📐 Формула

Пропорциональность апостериорного:

\[p(\lambda \mid x) \propto \lambda^{\alpha-1}e^{-\beta\lambda}\cdot\lambda^{\Sigma x}e^{-n\lambda} = \lambda^{\alpha+\Sigma x - 1}e^{-(\beta+n)\lambda}.\]

Отсюда: $\alpha'=\alpha+\Sigma x$ (форма, shape), $\beta'=\beta+n$ (rate). Сопряжённая пара (conjugate pair): Gamma/Poisson — posterior остаётся в семействе Gamma.

→Вывод апостериорного — фундамент байесовского подхода. Дальше: как задать доверительный интервал для $\lambda$ на основе полученного posterior.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →