Справочник › Финансовая математика › Частные виды рент 2 › P-срочная рента пренумерандо

P-срочная рента пренумерандо

●Арендная плата вносится в начале каждого квартала, а не в конце. Почему такой поток стоит дороже сегодня?

В p-срочной ренте пренумерандо \(\ddot{a}^{(p)}_{\overline{n}|}\) каждый платёж поступает в начале подпериода — он меньше дисконтируется. Формально: заменяем номинальную процентную ставку \(i^{(p)}\) на номинальную учётную ставку \(d^{(p)} = p(1-(1+i)^{-1/p})\). Так как \(d^{(p)} < i^{(p)}\), отношение \(i/d^{(p)} > i/i^{(p)}\), и \(\ddot{a}^{(p)} > a^{(p)}\).

Платежи в начале каждого подпериода (стрелки сдвинуты влево внутри года), сравниваемые с постнумерандо (стрелки в конце). Наглядная разница в позиции.

✍️ Разберём на числах

\(X = 1000\) ₽, \(n = 5\) лет, \(i = 6\%\), \(p = 4\). \(d^{(4)} = 4 \cdot (1 - 1{,}06^{-1/4}) \approx 0{,}05784\). \(a_{\overline{5}|} \approx 4{,}2124\).

\[\ddot{a}^{(4)}_{\overline{5}|} = 4{,}2124 \cdot \frac{0{,}06}{0{,}05784} \approx 4{,}3692\]

\(PV = 1000 \cdot 4{,}3692 \approx 4369{,}2\) ₽ — на 63 ₽ больше, чем постнумерандо.

📐 Формула

\[\ddot{a}^{(p)}_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot \frac{i}{d^{(p)}}, \quad d^{(p)} = p\left(1 - (1+i)^{-1/p}\right)\]

\(X\) — годовая сумма, \(p\) — частота, \(i\) — годовая эффективная ставка, \(n\) — срок. Платёж \(X/p\) — в начале каждого подпериода. \(PV = X \cdot \ddot{a}^{(p)}_{\overline{n}|i}\).

→Связь постнумерандо и пренумерандо: \(\ddot{a}^{(p)}_{\overline{n}|} = a^{(p)}_{\overline{n}|} \cdot (1+i)^{1/p}\) — платёж сдвинулся на один подпериод раньше. Далее — отсроченная p-срочная рента.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →