●Работодатель доплачивает сотруднику по 1 ₽ в начале года, но только до выхода на пенсию — ровно 10 лет, и лишь пока сотрудник жив. Это не пожизненная рента: у неё есть «потолок» по числу выплат. Сколько стоит такой ограниченный поток?
Срочная рента \(\ddot{a}_{x:\overline{n}|}\) — это «обрезанная» пожизненная: берём те же взвешенные выплаты \(v^k\,{}_kp_x\), но суммируем лишь первые \(n\) штук (моменты \(0,1,\dots,n-1\)). Дальше платежей нет — поэтому она всегда меньше пожизненной \(\ddot{a}_x\).
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 50\), \(n = 10\), \(i = 4\%\). Складываем только первые 10 вкладов \(v^k\,{}_kp_{50}\) (от \(k=0\) до \(k=9\)): получаем \(\ddot{a}_{50:\overline{10}|} = 8{,}24\). Для сравнения пожизненная \(\ddot{a}_{50} = 17{,}11\) — почти вдвое больше: длинный хвост дальних выплат у срочной просто отрезан. (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(\ddot{a}_{x:\overline{n}|} = \sum_{k=0}^{n-1} v^k\,{}_k p_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_k p_x\) — вероятность дожить \(k\) лет; всего \(n\) возможных выплат. Эквивалентно \(\ddot{a}_{x:\overline{n}|} = \ddot{a}_x - v^n\,{}_n p_x\,\ddot{a}_{x+n} = (N_x - N_{x+n})/D_x\).