Дисперсия \(Var[X]\) и стандартное отклонение
●У двух портфелей одинаковая доходность 10% в год. Первый каждый год даёт ровно 10%. Второй — то 0%, то 20% (50/50). Математическое ожидание одно, но первый портфель явно «спокойнее». Как это измерить? Ответ — дисперсия.
Дисперсия спрашивает: «На сколько в среднем значения \(X\) отклоняются от своего среднего \(E[X]\)?» Мы берём каждое отклонение \((x - E[X])\), возводим в квадрат (чтобы знак не мешал), и взвешиваем по вероятностям. Результат — \(Var[X] = E[(X - E[X])^2]\).
Вычислять напрямую длинно. Удобнее «раскрыть скобки»: \(Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\) — второй момент минус квадрат первого.
![На картинке две гистограммы с одинаковым $E[X]$, но разными $Var[X]$. «Широкая» — большая дисперсия, «узкая» — малая. Ст](/img/variance.png)
На картинке две гистограммы с одинаковым \(E[X]\), но разными \(Var[X]\). «Широкая» — большая дисперсия, «узкая» — малая. Стрелки показывают отклонения от центра; их квадрат и усредняется.
✍️ Разберём на числах
Пусть \(X \in \{0, 2, 6\}\) с вероятностями \(0{,}5;\; 0{,}3;\; 0{,}2\).
Шаг 1: \(E[X] = 0{\cdot}0{,}5 + 2{\cdot}0{,}3 + 6{\cdot}0{,}2 = 0 + 0{,}6 + 1{,}2 = 1{,}8\).
Шаг 2: \(E[X^2] = 0^2{\cdot}0{,}5 + 2^2{\cdot}0{,}3 + 6^2{\cdot}0{,}2 = 0 + 1{,}2 + 7{,}2 = 8{,}4\).
Шаг 3: \(Var[X] = 8{,}4 - 1{,}8^2 = 8{,}4 - 3{,}24 = 5{,}16\).
Стандартное отклонение: \(\sigma = \sqrt{5{,}16} \approx 2{,}27\).
📐 Формула
\(Var[X] = \sigma^2\) (в русских источниках — \(D[X]\)). Важно: дисперсия — в квадратных единицах, стандартное отклонение — в тех же единицах, что \(X\).