●Тот же пенсионер, та же пожизненная пенсия по 1 ₽ в год. Но фонд платит не вперёд, а в КОНЦЕ каждого прожитого года. Насколько это дешевле для фонда? Ровно на одну выплату — и сейчас мы увидим, почему.
Постнумерандо \(a_x\) — это та же пожизненная рента, но без самой первой выплаты в момент 0. Все остальные платежи те же, просто «сдвинулись» на конец года. Поэтому не нужно ничего пересчитывать с нуля: \(a_x = \ddot{a}_x - 1\).
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 65\), \(i = 4\%\). Из прошлого atom мы знаем \(\ddot{a}_{65} = 12{,}28\). Убираем выплату в момент 0 (она стоила ровно 1 ₽): \(a_{65} = 12{,}28 - 1 = 11{,}28\). Прямой проверкой суммы \(\sum_{k\geq 1} v^k\,{}_kp_{65}\) получаем то же \(11{,}28\). (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(a_x = \sum_{k=1}^{\infty} v^k\,{}_k p_x = \ddot{a}_x - 1\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_k p_x\) — вероятность дожить \(k\) лет. Сумма стартует с \(k=1\): первой выплаты (в момент 0) нет, поэтому ровно на 1 меньше пренумерандо.