Справочник › Финансовая математика › Произвольные множители накопления и дисконтирования › Накопление при переменной силе процента $\delta(t)$

Накопление при переменной силе процента $\delta(t)$

●Сила процента меняется со временем: сначала одна ставка, потом другая. Как посчитать накопление? Умножение больше не работает — нужен интеграл.

При переменной $\delta(t)$ мгновенный вклад каждого отрезка времени суммируется в интеграл $\int_0^T \delta(t)\,dt$. Это «площадь под кривой силы процента». Коэффициент накопления — экспонента от этой площади: $A(T) = e^{\int_0^T \delta(t)\,dt}$. При кусочно-линейном $\delta(t)$ интеграл разбивают по кускам.

$Два графика. Верхний: $\delta(t)$ — горизонтальная полка до $t=2$, затем линейный рост; площадь под кривой заштрихована.$

Два графика. Верхний: $\delta(t)$ — горизонтальная полка до $t=2$, затем линейный рост; площадь под кривой заштрихована. Нижний: $A(t) = \exp(\int_0^t \delta(s)\,ds)$ нарастает, после $t=2$ кривая изгибается вверх быстрее.

✍️ Разберём на числах

$\delta(t) = 0{,}04$ при $t \leq 2$; $\delta(t) = 0{,}04 + 0{,}02(t-2)$ при $t > 2$. Найти $A(5)$.

Шаг 1: $\int_0^2 0{,}04\,dt = 0{,}08$.

Шаг 2: $\int_2^5 \left(0{,}04 + 0{,}02(t-2)\right)\,dt = 0{,}04 \cdot 3 + \frac{0{,}02}{2} \cdot 3^2 = 0{,}12 + 0{,}09 = 0{,}21$.

Шаг 3: $\int_0^5 \delta(t)\,dt = 0{,}08 + 0{,}21 = 0{,}29$.

$A(5) = e^{0{,}29} \approx 1{,}336427$.

📐 Формула

\[A(T) = \exp\!\left(\int_0^T \delta(t)\,dt\right)\]

$\delta(t)$ — переменная сила процента в момент $t$, $T$ — горизонт в годах, $A(T)$ — накопленная стоимость 1 ₽.

→Зная $A(T)$, немедленно получаем дисконт-фактор: $v(0,T) = 1/A(T) = \exp\!\left(-\int_0^T \delta(t)\,dt\right)$ — это следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Накопление при переменной силе процента \(\delta(t)\)