Справочник › Финансовая математика › Произвольные множители накопления и дисконтирования › Дисконт при переменной силе процента $\delta(t)$

Дисконт при переменной силе процента $\delta(t)$

●Накопление считать умеем. Теперь наоборот: сколько стоит 1 ₽ через $T$ лет в сегодняшних деньгах, если сила процента меняется?

Дисконт-фактор — величина, обратная коэффициенту накопления. Если будущая стоимость 1 ₽ равна $A(T)$, то 1 ₽ через $T$ лет сейчас стоит $v(0,T) = 1/A(T)$. При переменной $\delta(t)$: $v(0,T) = \exp\!\left(-\int_0^T \delta(t)\,dt\right)$. Минус в показателе — это дисконтирование, а не накопление.

$Два графика на одном поле: $$A(t) = e^{\int_0^t \delta(s)\,ds}$$ (растёт) и $$v(0,t) = e^{-\int_0^t \delta(s)\,ds}$$ (уб$

Два графика на одном поле: $A(t) = e^{\int_0^t \delta(s)\,ds}$ (растёт) и $v(0,t) = e^{-\int_0^t \delta(s)\,ds}$ (убывает). Кривые симметричны относительно $y=1$ в логарифмическом масштабе. Горизонталь $y=1$ при $t=0$; к $t=5$ показаны значения $1{,}34$ и $0{,}75$.

✍️ Разберём на числах

Та же $\delta(t)$: $0{,}04$ при $t \leq 2$; $0{,}04 + 0{,}02(t-2)$ при $t > 2$. Найти $v(0, 5)$.

Из предыдущего атома: $\int_0^5 \delta(t)\,dt = 0{,}29$.

$v(0, 5) = e^{-0{,}29} \approx 0{,}748264$.

Смысл: заплатить сегодня $0{,}748264$ ₽ эквивалентно получить 1 ₽ через 5 лет при данной переменной силе роста.

📐 Формула

\[v(0,T) = \exp\!\left(-\int_0^T \delta(t)\,dt\right) = \frac{1}{A(T)}\]

$\delta(t)$ — переменная сила процента, $T$ — горизонт (лет), $v(0,T)$ — дисконт-фактор (PV 1 ₽ через $T$ лет).

→$v(0,T)$ — строительный блок для дисконтирования потоков платежей. Следующая тема (1.4): как суммировать такие факторы по произвольному потоку платежей.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Дисконт при переменной силе процента \(\delta(t)\)