Коэффициент поправки для Exp-иска
●Для экспоненциального распределения исков не нужна бисекция или численный поиск — коэффициент поправки \(R\) считается в одну строку. Это делает Exp-иск главным «тренировочным» случаем теории разорения.
Формула \(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) показывает: \(R\) растёт с нагрузкой \(\theta\) (больше запас премий — надёжнее), \(R\) растёт с \(\alpha\) (меньше средний иск \(1/\alpha\) — надёжнее), и \(R\) не зависит от \(\lambda\) — на бесконечном горизонте интенсивность исков лишь ускоряет процесс, не меняя конечный исход.
![График $R = \alpha\theta/(1+\theta)$ как функция $\theta \in [0, 1]$ при фиксированном $\alpha$: монотонно растущая вогн](/img/adjustment-coefficient-exponential.png)
График \(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) как функция \(\theta \in [0, 1]\) при фиксированном \(\alpha\): монотонно растущая вогнутая кривая, стремящаяся к \(\alpha\) при \(\theta \to \infty\).
✍️ Разберём на числах
Пусть \(\alpha = 0{,}02\) (средний иск 50 тыс. руб.), \(\theta = 0{,}3\). \(R = 0{,}02 \cdot 0{,}3 / (1 + 0{,}3) = 0{,}006 / 1{,}3 \approx 0{,}004615\) (1/тыс. руб.). Граница разорения при резерве \(u = 200\) тыс. руб.: \(\psi(200) \leq e^{-0{,}004615 \cdot 200} = e^{-0{,}923} \approx 0{,}397\).
📐 Формула
\(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) — коэффициент поправки для \(\mathrm{Exp}(\alpha)\)-иска. \(\alpha\) — параметр экспоненты, \(E[X] = 1/\alpha\) (rate parameter). \(\theta\) — relative safety loading (нагрузка безопасности). Эквивалентно: \(R = \alpha - \lambda/c\) (через интенсивность и премию).