Справочник › Финансовая математика › Частные виды рент 1 › PV ренты постнумерандо

PV ренты постнумерандо

●Вам обещают 1 000 ₽ каждый год в течение 5 лет — но первый платёж придёт только через год. Сколько вы готовы заплатить сегодня за этот поток?

Рента постнумерандо: платёж приходит в КОНЦЕ каждого периода. Каждые 1 000 ₽ «лежат в будущем» — их нужно дисконтировать. Первый платёж через год стоит \(1000 \cdot v\), второй — \(1000 \cdot v^2\), и так до \(n\)-го. Сумма геометрической прогрессии и даёт формулу \(a_{\overline{n}|}\).

Временная диаграмма: стрелки вниз (платежи) в моменты \(t=1,2,3,4,5\); стрелка влево показывает дисконтирование каждого платежа к \(t=0\).

✍️ Разберём на числах

\(X = 1000\) ₽, \(n = 5\) лет, \(i = 6\%\) (\(v = 1/1{,}06\)).

\[PV = 1000 \cdot \frac{1 - 1{,}06^{-5}}{0{,}06} = 1000 \cdot \frac{1 - 0{,}747258}{0{,}06} \approx 1000 \cdot 4{,}21236 = 4212{,}36\ \text{₽}\]

Проверка: \(1000 \cdot v + 1000 \cdot v^2 + \ldots + 1000 \cdot v^5 = 4212{,}36\) ₽.

📐 Формула

\[a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}, \quad v = \frac{1}{1+i}\]

\(X\) — размер одного платежа, \(i\) — годовая эффективная ставка, \(n\) — число платежей, \(v\) — дисконт-фактор. \(PV = X \cdot a_{\overline{n}|i}\).

→Накопленная стоимость той же ренты — \(s_{\overline{n}|i}\) — получается умножением на \((1+i)^n\): \(s_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)^n\). Следующий атом — именно она.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →