Бета актива: систематический риск через корреляцию
●Акция имеет \(\rho = 0{,}6\) с рынком, её \(\sigma_i = 20\%\), а рынок — \(\sigma_m = 10\%\). Можно ли просто взять корреляцию как меру чувствительности к рынку? Нет: бета \(= 1{,}2\), а не \(0{,}6\). Разберём, откуда берётся это соотношение.
Бета — это наклон линии регрессии доходности актива на доходность рынка. Если рынок вырастает на \(1\%\), актив в среднем вырастает на \(\beta\%\). Наклон определяется не просто корреляцией, но и отношением волатильностей: \(\beta = \rho \cdot \sigma_i / \sigma_m\).
Облако точек (доходность рынка по оси \(x\), доходность актива по оси \(y\)) и линия регрессии с наклоном \(\beta = 1{,}2\). Угол наклона \(> 45^\circ\) — актив двигается сильнее рынка.
✍️ Разберём на числах
\(\rho = 0{,}6\), \(\sigma_i = 20\%\), \(\sigma_m = 10\%\). \(\beta = 0{,}6 \cdot 20 / 10 = 1{,}2\). Актив «агрессивный»: при росте рынка на \(1\%\) ожидаем рост актива на \(1{,}2\%\).
📐 Формула
\(\beta = \rho \cdot \sigma_i / \sigma_m = \mathrm{Cov}(R_i, R_m) / \mathrm{Var}(R_m)\), где \(\rho\) — корреляция, \(\sigma_i\) — стандартное отклонение актива, \(\sigma_m\) — рынка. Бета безразмерна.