Справочник › Теория риска › Байесовский подход › Байесовская точечная оценка

Байесовская точечная оценка

●У вас 1000 водителей. Один из них подал 3 иска за 4 года. Какова его «истинная» частота исков? Простое деление $3/4 = 0{,}75$ — слишком мало данных. Байесовская оценка смешивает личный опыт с портфельным знанием.

Представьте: prior $\mathrm{Gamma}(2, 5)$ говорит, что средний водитель делает $2/5 = 0{,}4$ иска в год. Теперь наблюдаем 3 иска за 4 года. Апостериорное — $\mathrm{Gamma}(2+3, 5+4) = \mathrm{Gamma}(5, 9)$. Байесовская оценка — среднее posterior: $5/9 \approx 0{,}556$ — это компромисс между 0,4 (портфель) и 0,75 (личный опыт).

$Prior $\mathrm{Gamma}(2,5)$ и posterior $\mathrm{Gamma}(5,9)$ на одной оси — posterior сдвинут вправо от prior к личному$

Prior $\mathrm{Gamma}(2,5)$ и posterior $\mathrm{Gamma}(5,9)$ на одной оси — posterior сдвинут вправо от prior к личному опыту водителя, и он уже, что означает большую уверенность.

✍️ Разберём на числах

$\alpha=2$, $\beta=5$, $n=4$, $\Sigma x=3$. Апостериорные параметры: $\alpha'=2+3=5$, $\beta'=5+4=9$. Байесовская оценка: $E[\lambda \mid x] = 5/9 \approx 0{,}555556$.

📐 Формула

Posterior: $\lambda \mid x \sim \mathrm{Gamma}(\alpha', \beta')$, где $\alpha'=\alpha+\Sigma x$, $\beta'=\beta+n$. Байесовская точечная оценка (квадратичная потеря):

\[\hat\lambda = E[\lambda \mid x] = \frac{\alpha + \Sigma x}{\beta + n} = \frac{\alpha'}{\beta'}.\]

$\alpha$ — форма prior (shape), $\beta$ — rate prior, $n$ — число лет, $\Sigma x$ — сумма исков. Русская нотация: «апостериорное среднее»; английская: posterior mean.

→Байесовская оценка — это частный случай credibility-премии. Следующий шаг — понять, как выбор функции потерь меняет оценку: среднее, медиана или мода.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →