Критерий согласия χ²
●Актуарий подогнал показательное распределение к 100 искам по 4 интервалам. Ожидаемые частоты по модели: [18, 32, 33, 17]. Реально наблюдалось: [20, 30, 35, 15]. Близко, но насколько? Может быть, различие случайное? Именно для ответа на этот вопрос и существует критерий согласия \(\chi^2\) (хи-квадрат).
\(\chi^2\)-статистика суммирует квадратные отклонения наблюдённых частот от ожидаемых, нормированные на ожидаемые. Малое \(\chi^2\) означает хорошее согласие, большое — модель не справляется. При истинной гипотезе статистика распределена как \(\chi^2(df)\), где \(df\) = число интервалов − 1 − число параметров.
Столбчатая диаграмма: синие столбцы — наблюдённые частоты \(O\), оранжевые — ожидаемые \(E\). Видно, как близко совпадают высоты; подписи над столбцами показывают вклад \((O-E)^2/E\).
✍️ Разберём на числах
\(O = [20, 30, 35, 15]\), \(E = [18, 32, 33, 17]\). Вклад каждого интервала: \((20-18)^2/18 + (30-32)^2/32 + (35-33)^2/33 + (15-17)^2/17\). \(= 4/18 + 4/32 + 4/33 + 4/17 = 0.222 + 0.125 + 0.121 + 0.235 \approx 0.703\). Если оценивался 1 параметр: \(df = 4 - 1 - 1 = 2\); критическое \(\chi^2_{0.05}(2) = 5.991\). Наше значение \(0.703 \ll 5.991\): нет оснований отвергать \(H_0\) о хорошем согласии.
📐 Формула
Здесь: \(O_i\) — наблюдаемая частота (observed), \(E_i\) — ожидаемая (expected), \(k\) — число интервалов (bins), \(p\) — число оценённых параметров, \(df = k - 1 - p\) — степени свободы (degrees of freedom). Условие применимости: \(E_i \geq 5\) для каждого интервала.