Метод процентилей
●Портфель КАСКО: аналитик видит 500 исков, но несколько из них — настоящие гиганты (угон дорогих автомобилей), искажающие среднее вверх. Медиана исков — 12 000 ₽. Как надёжно оценить параметр \(\lambda\), не давая выбросам испортить результат? Ответ — метод процентилей.
Метод процентилей приравнивает теоретический квантиль к выборочному. Для \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) медиана (50-й перцентиль) задаётся уравнением \(F(m) = 0.5\): это уравнение решается явно и не зависит от крайних наблюдений. Результат: \(\hat{\lambda} = \ln(2) / m\). Медиана устойчива к выбросам — медиана 500 исков не изменится, если заменить самый крупный иск на миллиарды рублей.
Гистограмма исков с \(\mathrm{Exp}(\hat{\lambda})\)-плотностью (красная). Вертикальная линия на медиане: ровно половина площади кривой лежит левее этой отметки.
✍️ Разберём на числах
Дано: медиана \(m = 12\,000\) ₽. Теоретическая медиана \(\mathrm{Exp}(\lambda)\): решаем \(1 - e^{-\lambda m} = 0.5\). \(e^{-\lambda m} = 0.5 \implies -\lambda m = \ln(0.5) = -\ln(2) \implies \lambda = \ln(2)/m\). Подставляем: \(\hat{\lambda} = 0.693147 / 12\,000 \approx 0.000058\) (1/₽). Сравните с MLE через среднее: если среднее \(> 12\,000/\ln 2 \approx 17\,310\) ₽, это признак тяжёлых хвостов и плохой подгонки.
📐 Формула
Здесь: \(m_{0.5}\) — выборочная медиана (sample median, 50th percentile), \(\lambda\) — параметр интенсивности Exp-распределения. Обобщение: для произвольного квантиля \(q\): \(\hat{\lambda} = -\ln(1-q)\,/\,x_q\).