Справочник › Теория риска › Распределения ущерба (хвосты) › Моменты через MGF

Моменты через MGF

●Вам нужны $E[X]$, $E[X^2]$, $\mathrm{Var}[X]$ для экспоненциального иска. Можно брать интеграл каждый раз заново, а можно один раз дифференцировать одну функцию — MGF. Именно так экономят время на экзамене.

Производящая функция моментов $M_X(t) = E[e^{tX}]$ «кодирует» все моменты сразу. Первая производная в нуле даёт $E[X]$, вторая — $E[X^2]$ и т.д. Это работает потому, что разложение $e^{tX} = 1 + tX + t^2X^2/2! + \ldots$ при дифференцировании «вытаскивает» нужный момент.

$Плотность $\mathrm{Exp}(\lambda)$ с вертикальной линией $E[X] = 1/\lambda$; подпись показывает связь MGF → момент.$

Плотность $\mathrm{Exp}(\lambda)$ с вертикальной линией $E[X] = 1/\lambda$; подпись показывает связь MGF → момент.

✍️ Разберём на числах

Для $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$: $M_X(t) = \lambda/(\lambda - t)$. Производная: $M_X'(t) = \lambda/(\lambda - t)^2$. В нуле: $E[X] = M_X'(0) = 1/\lambda$. При $\lambda = 0.005$: $E[X] = 1/0.005 = 200$ ₽.

📐 Формула

\[M_X(t) = E[e^{tX}], \quad E[X^k] = M_X^{(k)}(0)\]

Для Exp($\lambda$): $M_X(t) = \lambda/(\lambda - t)$, $t < \lambda$. $M_X'(0) = 1/\lambda = E[X]$; $M_X''(0) = 2/\lambda^2 = E[X^2]$.

→MGF упрощает вычисление моментов. Для ограниченных исков с франшизой и лимитом замкнутой MGF нет — применяют приём «полный минус неполный», следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →