●Человеку сейчас 50 лет. Сколько ему ещё жить — 28 лет? 28 лет и 7 месяцев? Чтобы говорить о смерти в ЛЮБОЙ момент, а не только в целых годах, нужна непрерывная величина — полное будущее время жизни \(T_x\).
\(T_x\) (точный остаток жизни) — случайная величина: сколько ещё проживёт лицо возраста \(x\), измеренное в годах с дробной частью. Не возраст смерти, а время ДО неё.
✍️ Разберём на числах
Пусть сила смертности постоянна, \(\mu = 0{,}02\). Тогда вероятность прожить дольше \(t\) лет: \(P(T_x > t) = {}_t p_x = e^{-\mu t}\). Для \(t = 10\): \(e^{-0{,}02 \cdot 10} = e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187\). То есть \(81{,}87\%\) таких людей проживут больше 10 лет.
📐 Формула
\(P(T_x > t) = {}_t p_x\); плотность \(f_{T_x}(t) = {}_t p_x \cdot \mu_{x+t}\). \(T_x\) принимает значения в \([0, \omega - x)\), где \(\omega = 100\) (предельный возраст таблиц ЦБ); \(E[T_x] = \overset{\circ}{e}_x\) (полное ожидание жизни).