Справочник › Теория риска › Compound-распределения › Compound Binomial

Compound Binomial

●Представьте страховой портфель из 100 полисов ОСАГО. Каждый клиент может подать иск с вероятностью 0.2 — то есть в среднем 20 исков за период. Как оценить разброс суммарных выплат?

Число исков \(N\) имеет биномиальное распределение \(\mathrm{Bin}(100, 0.2)\). Его ключевое свойство: \(\mathrm{Var}[N] = np(1-p) = 16\), а не 20, как было бы у Пуассона. Это называется недодисперсией — биномиальное \(N\) «зажато» сильнее Пуассона, потому что число полисов ограничено, и каждый клиент предъявляет иск не более одного раза.

Гистограмма суммарного иска \(S\) по 20 000 симуляциям. Красная вертикаль — теоретическое \(E[S] = 100\) тыс. руб. Видно, что распределение \(S\) правоскошено, хвост вправо длиннее.

✍️ Разберём на числах

Дано: \(n=100\), \(p=0.2\), \(E[X]=5\) тыс. руб., \(E[X^2]=50\). Шаг 1: \(\mathrm{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 50 - 25 = 25\). Шаг 2: \(E[N] = np = 100 \cdot 0.2 = 20\), \(\mathrm{Var}[N] = np(1-p) = 100 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 16\). Шаг 3: \(\mathrm{Var}[S] = E[N] \cdot \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2 = 20 \cdot 25 + 16 \cdot 25 = 500 + 400 = 900\ (\text{тыс. руб.})^2\).

📐 Формула

Общая формула для compound-распределения:

\[\mathrm{Var}[S] = E[N]\cdot\mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N]\cdot(E[X])^2\]

Для биномиального \(N \sim \mathrm{Bin}(n, p)\):

\[\mathrm{Var}[N] = np(1-p) \quad (< E[N]=np,\ \text{недодисперсия})\]

→Мы разобрали случай, когда число исков ограничено биномиальным законом. Теперь рассмотрим противоположную ситуацию — передисперсию, когда \(\mathrm{Var}[N] > E[N]\). Это отрицательное биномиальное распределение.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →