●Возрастающая страховка из прошлого урока растёт на 1 ₽ в год — арифметика. А если страховая сумма должна расти В РАЗАХ, скажем на 2% ежегодно: \((1{,}02)^k\) ₽ в год \(k+1\)? Суммировать такое в лоб не хочется. Есть красивый трюк — спрятать рост внутрь ставки.
В сумме каждый член содержит дисконт \(v^{k+1}=(1+i)^{-(k+1)}\) и рост \((1+b)^k\). Эти два множителя «съедают» друг друга: их частное даёт новую эффективную ставку \(j = (1+i)/(1+b) - 1\). После замены остаётся обыкновенная \(A_x\) — но посчитанная при ставке \(j\), — а лишний множитель \((1+b)\) выносится за скобку. Геометрический рост превратили в обычную страховку при «сдвинутой» ставке.
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 50\), \(i = 4\%\), \(b = 2\%\). Эквивалентная ставка \(j = 1{,}04/1{,}02 - 1 = 0{,}0196 = 1{,}96\%\). По таблице \(A_{50}\) при ставке \(j\) равно \(0{,}5717\). Делим на \((1+b)\): PV \(= 0{,}5717/1{,}02 = 0{,}5605\). Для сравнения обычная \(A_{50}\) при 4% — всего \(0{,}341\): растущая выплата ожидаемо дороже. (Числа проверены python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\(\text{PV} = \dfrac{1}{1+b}\,A_x(\text{при ставке } j)\), где \(j = \dfrac{1+i}{1+b} - 1\), \(i\) — ставка дисконтирования, \(b\) — темп роста страховой суммы \((1+b)^k\). Требуется \(b > -1\) и \(i > -1\). Не путать с арифметическим ростом \((IA)_x\) — там выплата \(k+1\).