●Пенсия, которая растёт: в первый год платят 1 ₽, во второй — 2 ₽, в третий — 3 ₽, и так каждый год, пока человек жив. Удобная модель индексируемой пенсии. Сколько стоит такой растущий пожизненный поток сегодня? Это \((I\ddot a)_x\).
Это «брат» возрастающей страховки \((IA)_x\), только выплаты идут при жизни, а не в момент смерти. Каждый годовой вклад — дисконт \(v^k\), умноженный на вероятность дожить \({}_kp_x\) и на размер выплаты \((k+1)\). Обратите внимание: выплата стартует с 1 (при \(k=0\)), а не с 0 — поэтому множитель именно \((k+1)\). Двойное суммирование \(N\) даёт ровно такую растущую ренту, отсюда заготовка \(S_x\).
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 60\), \(i = 4\%\). Первый вклад (\(k=0\), выплата 1 ₽): \(1\cdot v^0 \cdot {}_0p_{60}=1\). Второй (\(k=1\), выплата 2 ₽): \(2\,v\,{}_1p_{60} = 2\cdot(1/1{,}04)\cdot 0{,}9899 \approx 1{,}90\). Складывать все годы вручную долго — берём готовое: \((I\ddot a)_{60} = S_{60}/D_{60} = 1\,215\,688/8205{,}2 = 148{,}2\). (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\((I\ddot a)_x = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\,v^k\,{}_kp_x = S_x/D_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_kp_x\) — вероятность дожить \(k\) лет, \(S_x = \sum_{j\geq 0} N_{x+j}\). Множитель выплаты — \((k+1)\), первая выплата равна 1 (не 0). Рента пренумерандо — платёж в начале года.