Справочник › Теория риска › Compound-распределения › Среднее и дисперсия суммарного иска

Среднее и дисперсия суммарного иска

●Страховщик хочет знать: каков ожидаемый суммарный иск за год и насколько велик разброс? Число исков $N$ — случайное, размер каждого иска $X$ — тоже случайный. Как оба источника неопределённости складываются?

$E[S] = E[N] \cdot E[X]$ — «сколько исков в среднем, умножить на средний размер». $\mathrm{Var}[S] = E[N] \cdot \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2$: первое слагаемое — разброс размеров, второе — разброс числа. Если $N$ фиксировано, второго слагаемого нет. Но $N$ случайно — оно «добавляет» дисперсию.

$Двусторонняя гистограмма: вклад $E[N] \cdot \mathrm{Var}[X]$ и $\mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2$ в общую $\mathrm{Var}[S]$

Двусторонняя гистограмма: вклад $E[N] \cdot \mathrm{Var}[X]$ и $\mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2$ в общую $\mathrm{Var}[S]$.

✍️ Разберём на числах

$E[N]=20$, $\mathrm{Var}[N]=30$ (передисперсия), $E[X]=5$ тыс. руб., $\mathrm{Var}[X]=8\ (\text{тыс. руб.})^2$. $E[S] = 20 \cdot 5 = 100$ тыс. руб. $\mathrm{Var}[S] = 20 \cdot 8 + 30 \cdot 25 = 160 + 750 = 910\ (\text{тыс. руб.})^2$. Второе слагаемое (750) больше первого — число исков доминирует в дисперсии.

📐 Формула

\[E[S] = E[N] \cdot E[X]\]

\[\mathrm{Var}[S] = E[N] \cdot \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2\]

(формула полной дисперсии / law of total variance) $N$ — число исков (claim count), $X$ — размер одного иска (claim severity), $S$ — суммарный иск (aggregate claims).

→Эта общая формула работает для любого $N$: Пуассон, Биномиал, НегБин — подставляй свои $E[N]$ и $\mathrm{Var}[N]$. Следующий атом: производящие функции (PGF/MGF) — они позволяют получить моменты ещё элегантнее.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →