Справочник › Теория риска › Модели риска и суммарный иск › Сложный пуассоновский процесс

Сложный пуассоновский процесс

●Мы уже умеем считать число исков $N(t)$. Теперь усложним: каждый иск имеет размер $X_i$ — случайный. Сложный пуассоновский процесс $S(t) = X_1 + \ldots + X_{N(t)}$ — это непрерывный «счётчик денег», которые компания выплачивает со временем.

$N(t)$ — ступенчатый граф, растущий на $+1$ при каждом иске. $S(t)$ — тоже ступенчатый, но каждый скачок не $+1$, а случайный $X_i$. Размеры $X_i$ н.о.р. и независимы от моментов поступления. Результат: $E[S(t)] = \lambda t \cdot E[X]$ — линейный рост; $\mathrm{Var}[S(t)] = \lambda t \cdot E[X^2]$ — учитывает и разброс числа исков, и разброс их размеров.

$Траектория $S(t)$: ступенчатая кривая с неравномерными скачками $X_i$; поверх — прямая линия $E[S(t)] = \lambda t \cdot$

Траектория $S(t)$: ступенчатая кривая с неравномерными скачками $X_i$; поверх — прямая линия $E[S(t)] = \lambda t \cdot E[X]$; и процесс капитала $U(t)$ — убывающая ступенчатая кривая с тенденцией роста за счёт премий.

✍️ Разберём на числах

$\lambda = 10$ исков/месяц, $X \sim \mathrm{Exp}(1/5)$: $E[X] = 5$ тыс. руб., $E[X^2] = 50\ (\text{тыс. руб.})^2$. За 6 месяцев ($t = 6$): $E[S(6)] = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300$ тыс. руб. $\mathrm{Var}[S(6)] = 10 \cdot 6 \cdot 50 = 3000\ (\text{тыс. руб.})^2$. Процесс капитала страховщика: $U(t) = 350 + 60t - S(t)$ при $c = 60$ тыс./мес.

📐 Формула

\[S(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i\]

\[E[S(t)] = \lambda t\, E[X]\]

\[\mathrm{Var}[S(t)] = \lambda t\, E[X^2]\]

\[U(t) = u + ct - S(t)\]

$\lambda$ — интенсивность потока исков, $X_i$ — i.i.d. размеры исков, $u$ — начальный резерв, $c$ — ставка премии. Русск.: сложный пуассоновский процесс. Англ.: compound Poisson process.

→$S(t)$ — фундамент модели разорения. Теперь мы знаем, как устроен суммарный иск во времени. Урок 8 перейдёт к вероятности разорения: когда именно $U(t)$ впервые упадёт ниже нуля и как $\lambda$, $c$, $u$ влияют на вероятность разорения.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →