Справочник › Теория риска › Франшизы и чистый иск › Условное среднее иска при выплате

Условное среднее иска при выплате

●Перестраховщик платит только тогда, когда иск превышает удержание $M$. А если он уже «сработал» — сколько он заплатит в среднем? Это не то же самое, что просто убрать нулевые случаи — нужно условное среднее.

Pareto обладает «беспамятством наоборот»: если иск уже перевалил через порог $M$, то его остаток $(X - M)$ снова Парето, только сдвинутый. Это как смотреть на хвост распределения в новой системе отсчёта: пороговый уровень $M$ теперь 0, а масштаб сдвинулся до $\lambda + M$.

$Синяя зона $[M, \infty)$: только иски выше $M$ попадают в условное среднее. Среднее по синей зоне (с осью от $M$) — это$

Синяя зона $[M, \infty)$: только иски выше $M$ попадают в условное среднее. Среднее по синей зоне (с осью от $M$) — это $E[X - M \mid X > M]$.

✍️ Разберём на числах

$\mathrm{Pareto}(\alpha = 3, \lambda = 5000)$, удержание $M = 1000$. $E[X - 1000 \mid X > 1000] = (5000 + 1000)/(3 - 1) = 6000/2 = 3000$ ₽. Сравним: безусловное $E[\max(X - 1000, 0)] = (5000/2) \cdot (5000/6000)^2 \approx 1736$ ₽. Условное в ~1,73 раза больше — мы убрали все нулевые исходы.

📐 Формула

\[E[X - M \mid X > M] = \frac{\lambda + M}{\alpha - 1}\]

Обозначения: $M$ (retention limit) — предел удержания; $\alpha, \lambda$ — параметры Парето. Свойство: остаточное распределение $\sim \mathrm{Pareto}(\alpha, \lambda + M)$. Связь: $E[\max(X-M,0)] = E[X-M \mid X>M] \cdot P(X>M)$.

→Теперь мы знаем условное среднее перестраховщика. Параллельно страховщик ограничивает выплату снизу: $E[\min(X, M)]$. Это нетто-иск страховщика при XL — следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →