Справочник › Финансовая математика › Непрерывные и бесконечные потоки платежей › Непрерывная возрастающая рента

Непрерывная возрастающая рента

●Выручка бизнеса растёт: в момент $t$ интенсивность $\rho(t) = 2t$ ₽/год. За 10 лет при ставке 5% — какова PV нарастающего потока? Здесь нужно интегрировать $t \cdot e^{-\delta t}$ — это чуть сложнее.

Непрерывная возрастающая рента $(I\bar{a})_{\overline{n}|}$ — поток, где интенсивность линейно растёт: $\rho(t) = t$. Чем больше $t$, тем больше платёж, но и тем сильнее дисконтирование. Интегрирование по частям даёт изящную формулу через $\bar{a}_{\overline{n}|}$ и $n \cdot v^n$.

$Дисконтированная интенсивность $t \cdot e^{-\delta t}$ на интервале $[0, 10]$: кривая сначала растёт (рост $t$), затем п$

Дисконтированная интенсивность $t \cdot e^{-\delta t}$ на интервале $[0, 10]$: кривая сначала растёт (рост $t$), затем падает (дисконтирование берёт верх), образуя характерный горб. Площадь под ней — $(I\bar{a})_{\overline{n}|}$.

✍️ Разберём на числах

$X = 2$ ₽/год (коэффициент роста), $n = 10$, $i = 5\%$. $\delta = \ln(1{,}05) \approx 0{,}04879$. $v^{10} = (1{,}05)^{-10} \approx 0{,}6139$. $\bar{a}_{\overline{10}|} = 2 \cdot (1 - 0{,}6139) / 0{,}04879 \approx 15{,}826$. $(I\bar{a})_{\overline{10}|} = (15{,}826 - 2 \cdot 10 \cdot 0{,}6139) / 0{,}04879 \approx 72{,}72$ ₽.

📐 Формула

\[(I\bar{a})_{\overline{n}|i} = \frac{\bar{a}_{\overline{n}|i} - n \cdot v^n}{\delta}\]

$\bar{a}_{\overline{n}|i} = (1-v^n)/\delta$ — непрерывная рента, $v^n = (1+i)^{-n}$, $\delta = \ln(1+i)$, $n$ — срок (лет).

→Дискретный аналог — $(Ia)_{\overline{n}|}$, где платежи в конце года $k$ равны $k$. Непрерывная версия $(I\bar{a})_{\overline{n}|}$ чуть больше за счёт более раннего поступления в каждый момент. Оба — частные случаи «взвешенных» аннуитетов, важных в страховании и пенсионных расчётах.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →