Справочник › Теория вероятностей › Производящие функции и свёртки › Свёртка: сумма независимых СВ через MGF

Свёртка: сумма независимых СВ через MGF

●Время обработки $n$ страховых заявок: каждое $\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$. Среднее суммарное время?

MGF суммы независимых = произведение MGF. $n$ раз одна и та же MGF (iid) → умножаем = возводим в степень $n$. Получаем MGF гамма-распределения!

$Плотность суммы $S_n$ для $n=1,2,3$ слагаемых $\mathrm{Exp}(\lambda)$. При $n=1$ — Exp, при $n>1$ — Gamma.$

Плотность суммы $S_n$ для $n=1,2,3$ слагаемых $\mathrm{Exp}(\lambda)$. При $n=1$ — Exp, при $n>1$ — Gamma.

✍️ Разберём на числах

$X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$. $M_{X_i}(t) = (1-t/\lambda)^{-1}$. $M_S(t) = \left[(1-t/\lambda)^{-1}\right]^n = (1-t/\lambda)^{-n}$. Это $\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$. $E[S] = n/\lambda$.

Проверка: $E[S] = n \cdot E[X_i] = n/\lambda$ (линейность ожидания) — совпадает!

📐 Формула

$E[S] = n/\lambda$, $Var[S] = n/\lambda^2$ при $X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ iid.

→Это частный случай суммы одинаковых CВ: атом sum-iid-distributions. Условие независимости важно: без него MGF суммы ≠ произведению MGF.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →