Справочник › Теория вероятностей › Производящие функции и свёртки › Сумма одинаково распределённых независимых СВ (IID)
Сумма одинаково распределённых независимых СВ (IID)
●Страховщик проверяет \(n\) объектов. По каждому — наступит ли страховой случай (\(p\)). Суммарное число случаев = сумма \(n\) независимых Бернулли = Биномиальная!
Биномиальное распределение — это ровно сумма \(n\) независимых одинаковых Бернулли. \(E[S] = n \cdot p\) по линейности математического ожидания. MGF подтверждает: \((q+pe^t)^n\) — MGF \(\mathrm{Bin}(n,p)\).
Слева: \(\mathrm{Bernoulli}(p)\). Справа: \(\mathrm{Bin}(n,p)\) = сумма \(n\) Бернулли. Среднее растёт как \(np\).
✍️ Разберём на числах
\(M_{X_i}(t) = q + pe^t\) (Bernoulli). \(M_S(t) = (q+pe^t)^n\) (iid, независимые). \(E[S] = M'_S(0) = np\).
📐 Формула
\(E[S] = np\), \(Var[S] = np(1-p)\).
→Аналог: сумма \(n\) независимых \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) = \(\mathrm{Gamma}(n,\lambda)\): атом
convolution-sum-rv.Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →