Справочник › Теория риска › Credibility и Бюльман › Премия доверия

Премия доверия

●Как одним числом описать «справедливую» страховую премию для конкретного риска, зная и его личную историю, и статистику по всему портфелю? Формула $P = Z\bar{X} + (1 - Z)\mu$ делает именно это: взвешивает два источника информации.

Мысленно поставьте на весы два блюдца: левое — «личный опыт $\bar{X}$», правое — «портфель $\mu$». Фактор $Z$ — это доля веса на левом блюдце. При $Z = 0{,}3$ берём 30% от $\bar{X}$ и 70% от $\mu$. Итоговая премия $P$ всегда лежит между $\bar{X}$ и $\mu$ — ближе к тому, кому доверяем больше. Это буквально взвешенное среднее.

$График: ось $X$ — значение $Z$ от 0 до 1; ось $Y$ — премия $P$. Два горизонтальных пунктира на уровнях $\mu$ и $\bar{X}$$

График: ось $X$ — значение $Z$ от 0 до 1; ось $Y$ — премия $P$. Два горизонтальных пунктира на уровнях $\mu$ и $\bar{X}$. Прямая $P(Z) = Z\bar{X} + (1-Z)\mu$ соединяет точки $(0, \mu)$ и $(1, \bar{X})$.

✍️ Разберём на числах

$Z = 0{,}6$, $\bar{X} = 1{,}0$, $\mu = 0{,}4$. $P = 0{,}6\cdot1{,}0 + (1 - 0{,}6)\cdot0{,}4 = 0{,}60 + 0{,}16 = 0{,}76$ исков/год. Проверка: $P$ находится между 0,4 и 1,0 — верно. Ближе к $\bar{X} = 1{,}0$, потому что $Z = 0{,}6 > 0{,}5$.

📐 Формула

\[P = Z\,\bar X + (1-Z)\,\mu,\qquad Z \in [0,1].\]

$P$ — credibility-премия (credibility premium); $Z$ — фактор доверия (credibility factor); $\bar{X}$ — выборочное среднее собственного опыта (observed mean / personal experience); $\mu$ — коллективная оценка (collective mean / prior mean / portfolio average). При $Z = 0$: $P = \mu$; при $Z = 1$: $P = \bar{X}$.

→Формулу $P = Z\bar{X} + (1-Z)\mu$ мы теперь знаем. Но откуда брать $Z$? В подходе limited fluctuation — из порога $N_{\text{full}}$. В байесовской модели Пуассон/Гамма — из $Z = n/(n+\beta)$. Следующий атом покажет, как именно $Z$ зависит от числа лет наблюдений $n$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →