Кумулянты и производящая функция кумулянтов (ПФК / CGF)
●Страховщик смоделировал общий ущерб как сумму нескольких независимых претензий: \(\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\). CGF = логарифм MGF, и с ним дисперсию найти проще.
CGF = ln(MGF). Зачем логарифм? Когда MGF — показательная функция (экспонента), логарифм «убирает» exp и дифференцировать становится гораздо проще. \(\kappa_2 = C''(0) = Var[X]\) — второй кумулянт, он же дисперсия.
Кривая \(C_X(t)\) для Gamma при разных \(\alpha\). Наклон в \(t=0\) = среднее, кривизна = дисперсия.
✍️ Разберём на числах
\(C(t) = -\alpha \cdot \ln(1-t/\lambda)\). \(C'(t) = \alpha/[\lambda(1-t/\lambda)^{-1}]\). \(C'(0) = \alpha/\lambda = E[X]\) ✓ \(C''(t) = \alpha/\lambda^2 \cdot (1-t/\lambda)^{-2}\). \(C''(0) = \alpha/\lambda^2\). Это \(Var[X]\) — совпадает с формулой \(\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\)!
📐 Формула
\(\kappa_2 = C''_X(0) = Var[X] = \alpha/\lambda^2\).
convolution-sum-rv).