Справочник › Теория риска › Франшизы и чистый иск › Франшиза при Pareto-ущербе

Франшиза при Pareto-ущербе

●Страховщик продаёт полис с франшизой 1 000 ₽ при ущербах по Парето. Сколько в среднем ему придётся выплачивать по одному страховому случаю? Ответ — не очевидное «среднее минус 1000», а элегантная формула с показателем $\alpha$.

Распределение Парето — тяжёлый хвост: большие ущербы случаются чаще, чем у нормального. Поэтому удаление «дна» (ущербы до $E$) уменьшает выплату значительно: страховщик отрезает много маленьких исков. Ключ к формуле — то, что сдвинутое распределение $(X - E \mid X > E)$ снова Парето, только с другим параметром $\lambda + E$.

$Плотность Парето: серая зона $[0, E]$ — клиент покрывает сам; синяя зона $[E, \infty)$ — страховщик. Площадь синей зоны,$

Плотность Парето: серая зона $[0, E]$ — клиент покрывает сам; синяя зона $[E, \infty)$ — страховщик. Площадь синей зоны, взвешенная по $(x - E)$, равна $E[\max(X - E, 0)]$.

✍️ Разберём на числах

$\mathrm{Pareto}(\alpha = 2, \lambda = 5000)$, франшиза $E = 500$. $E[X] = 5000/(2 - 1) = 5000$. $\text{ratio} = 5000/(5000 + 500) = 0{,}9091$. $E[\max(X - 500, 0)] = 5000 \cdot (0{,}9091)^1 \approx 4\,545$ ₽. Без франшизы страховщик платил бы 5000; франшиза срезала ~9%.

📐 Формула

\[E[\max(X - E,\; 0)] = \frac{\lambda}{\alpha - 1}\left(\frac{\lambda}{\lambda + E}\right)^{\alpha - 1}\]

Обозначения: $\alpha$ (shape) — параметр формы Парето; $\lambda$ (scale) — параметр масштаба; $E$ (excess) — франшиза. Первый множитель — это $E[X]$ для Парето; второй — «коэффициент срезки».

→Мы нашли безусловное среднее выплаты страховщика. Но иногда нас спрашивают: «Сколько платит перестраховщик в среднем, ЕСЛИ он вообще платит?» Это условное среднее — тема следующего атома.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →