●В таблице множественного выбытия мы делили выбывших на численность и получали ставки \((aq)^d\) и \((aq)^w\). Но вот вопрос: вероятность умереть за год в таблице с двумя выбытиями — она такая же, как «обычная» \(q_x\), или нет? Оказывается, чуть меньше. Почему — и насколько?
Декременты конкурируют за одного и того же человека. Если страхователь в середине года расторгнет договор, он уже не сможет «умереть как наш застрахованный» во второй половине года — surrender его перехватил. Поэтому фактическая вероятность смерти в портфеле \((aq)^d\) оказывается чуть НИЖЕ, чем «вероятность умереть, если бы surrender'а не существовало». Такие фактические, наблюдаемые в общей таблице ставки и называют ЗАВИСИМЫМИ: каждая зависит от присутствия других выбытий.
✍️ Разберём на числах
Зависимые ставки всегда дают в сумме с выживанием единицу: \((aq)^d_x + (aq)^w_x + (ap)_x = 1\). Возьмём независимые годовые ставки \(q_x = 0{,}01\) (смерть) и \(w_x = 0{,}05\) (surrender). При равномерном распределении выбытий в году (UDD) зависимая ставка смерти \((aq)^d_x \approx q_x(1 - \frac{1}{2} w_x) = 0{,}01\cdot(1 - 0{,}025) = 0{,}00975\) — чуть ниже исходных \(0{,}01\). Множитель \((1 - \frac{1}{2} w_x)\) — это поправка «в среднем полгода человек под риском surrender, прежде чем успеет умереть». (Число проверено python.)
📐 Формула
\((aq)^d_x + (aq)^w_x + (ap)_x = 1\); под UDD \((aq)^d_x \approx q_x\left(1 - \frac{1}{2} w_x\right)\). Здесь \((aq)^d_x\) — ЗАВИСИМАЯ (фактическая, в общей таблице) вероятность смерти, \((aq)^w_x\) — расторжения, \((ap)_x\) — остаться; \(q_x, w_x\) — НЕЗАВИСИМЫЕ ставки «в вакууме» одного декремента.