Треугольник развития
●Представьте таблицу Excel: по строкам — годы, когда произошли убытки, по столбцам — сколько лет прошло с тех пор. Вы замечаете, что правый нижний угол пуст — будущего ещё нет. Это и есть треугольник развития. Задача актуария — «достроить» пустые ячейки и узнать, сколько ещё придётся заплатить.
Убытки одного года выплачиваются постепенно: год 1 — первые выплаты, год 2 — ещё часть, год 3 — хвосты. Если собрать эти данные для нескольких исходных лет, строки «стекаются» к одной отчётной дате — получается треугольник: у старых лет все столбцы заполнены, у новых — только первые. Главная диагональ = последний наблюдённый год, она же «отчётная дата».
Сетка 3 строки × 3 столбца. Строки: «2023», «2024», «2025». Столбцы: «Интервал 0», «Интервал 1», «Интервал 2». Верхний левый треугольник (6 ячеек) закрашен — «известно». Нижний правый (3 ячейки) — пустые, помечены «?». Главная диагональ обведена — «отчётная дата».
✍️ Разберём на числах
Треугольник 3×3 (исходные годы 2023–2025, интервалы развития 0–2): Год 2023: ячейки (0), (1), (2) — все известны. Год 2024: ячейки (0), (1) — известны; (2) — в будущем. Год 2025: ячейка (0) — известна; (1) и (2) — в будущем. Кумулятивный C(2024,1) = C(2024,0) + P(2024,1), где P — инкрементальные выплаты за интервал.
📐 Формула
\(C_{i,j}\) — кумулятивные выплаты для исходного года \(i\) к концу интервала \(j\) (англ. cumulative paid losses). \(P_{i,j}\) — инкрементальные выплаты за интервал \(j\): \(P_{i,j} = C_{i,j} - C_{i,j-1}\). Здесь \(i\) — accident year (год происшествия), \(j\) — development year (год развития).