Справочник › Теория риска › EBCT (эмпирический Байес) › Параметр риска в EBCT

Параметр риска в EBCT

●Два автомобилиста — аккуратный и лихач. Один попадает в аварии редко, другой часто. Как страховщику отличить «плохого» водителя от «хорошего», если есть лишь несколько лет их истории? Это и есть задача параметра риска $\theta$ в EBCT.

Представьте портфель из $N$ водителей. Каждый имеет свой «истинный уровень риска» $\theta$ — невидимое число, отражающее характер вождения. Если бы мы знали $\theta$, мы назначали бы каждому свою справедливую премию $m(\theta)$. Но $\theta$ скрыт: видим только убытки $X$ за несколько лет. Есть два источника неопределённости: — шум ВНУТРИ риска ($s^2(\theta)$): один и тот же водитель в разные годы; — различия МЕЖДУ рисками ($\mathrm{Var}[m(\theta)]$): аккуратный против лихача.

$Концептуальная схема (без viz.png): портфель рисков $\theta_1, \theta_2, \theta_3$. — Истинные средние: $m(\theta_1) < m$

Концептуальная схема (без viz.png): портфель рисков $\theta_1, \theta_2, \theta_3$. — Истинные средние: $m(\theta_1) < m(\theta_2) < m(\theta_3)$ — это $\mathrm{Var}[m(\theta)]$. — Каждый $\theta$: случайные колебания вокруг $m(\theta_i)$ — это $s^2(\theta_i)$. Стрелки показывают: широкий разброс между горизонталями $\to$ высокий $Z$ (доверяем).

✍️ Разберём на числах

Вопрос 1: $E[s^2(\theta)] = E[\mathrm{Var}(X\mid\theta)]$ — среднее «дрожание» убытков одного водителя из года в год. Например, даже аккуратный водитель то 0, то 1 авария — это шум. Вопрос 2: $\mathrm{Var}[m(\theta)] = \mathrm{Var}(E[X\mid\theta])$ — разброс «настоящих» средних между разными водителями. Чем сильнее водители отличаются друг от друга, тем больше эта величина. Вопрос 3: $Z = n / (n + E[s^2(\theta)]/\mathrm{Var}[m(\theta)])$. При большом $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ (водители разные) и малом $E[s^2(\theta)]$ (мало шума) $\to Z$ близко к 1.

📐 Формула

$\theta$ (theta) — параметр риска (risk parameter), латентный фактор отдельного риска. $m(\theta) = E[X\mid\theta]$ — истинное среднее убытка при данном $\theta$ (individual risk mean). $s^2(\theta) = \mathrm{Var}(X\mid\theta)$ — дисперсия убытков внутри риска (process variance). $E[s^2(\theta)]$ — средняя process variance по портфелю (expected process variance). $\mathrm{Var}[m(\theta)]$ — дисперсия средних между рисками (variance of hypothetical means, VHM).

\[Z = \frac{n}{n + E[s^2(\theta)]/\mathrm{Var}[m(\theta)]}\]

→Мы разобрали, что именно измеряют $E[s^2(\theta)]$ и $\mathrm{Var}[m(\theta)]$. Следующий атом — как их оценить из реальных данных по таблице убытков.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →